Products of nonnegative selfadjoint operators, linear relations, and their local spectral theory

Abstract

One of the key objects in this thesis is a class of closed, in general, unbounded Hilbert space operators T which admit a factorization into a product T = AB of two nonnegative selfadjoint operators A and B in a Hilbert space. The case where one of the operators A or B is bounded or, alternatively, when one of them admits a bounded inverse, appears to be most prominent for further analysis and leads to a development of local spectral theory for such operators. The subclass, where A is bounded, is characterized first by means of quasi-affinity of T ∗ to an operator S = S∗ ≥ 0. Another characterization is established by first generalizing Sebestyén theorem from case of bounded operators to the present setting of unbounded operators.

Moreover, a reversed version of Sebestyén inequality is proved and shown to be connected to the quasi-affinity of T to S = S∗ ≥ 0. This gives rise to the second subclass of operators T , where the inverse of A is bounded. For this purpose Sebestyén inequality is extended even to the case of linear relations. Furthermore, the connection between these two subclasses and weak-similarity as well as quasiaffinity to some S = S∗ ≥ 0 is investigated. Finally, this thesis establishes different local spectral properties of the first class including the single valued extension property (SVEP), the Dunford’s property (c) and, more significantly the fact that operators in such a class are C-generalized scalar. This property plays a central role as it also shows that any operator T that is quasi-affine to a nonnegative selfadjoint operator S satisfies σ(T ) = σ(S).

Yksi tämän väitöskirjan keskeisistä kohteista on suljettujen, yleisesti rajoittamattomien Hilbert-avaruuden operaattoreiden T luokka, joiden jäsenet voidaan faktoroida kahden ei-negatiivisen itseadjungoidun operaattorin A ja B tuloksi T = AB. Tapaus, jossa jompikumpi operaattoreista A tai B on rajoittettu tai vaihtoehtoisesti, kun jommallakummalla niistä on rajoitettu käänteisoperaattori, mahdollistaa lokaalin spektraaliteorian kehittämisen tällaisille operaattoreille. Tapaus, jossa A on rajoitettu operaattori, karakterisoidaan ensin adjungaatin T ∗ kvasiaffinisuudella operaattoriin S = S∗ ≥ 0. Toinen karakterisointi johdetaan yleistämällä ensin Sebestyénin teoreema rajoitettujen operaattoreiden luokasta rajoittamattomien operaattoreiden luokkaan. Lisäksi todistetaan Sebestyénin epäyhtälön käänteinen versio, jonka osoitetaan olevan yhteydessä T:n kvasi-affiinisuuteen johonkin ei-negatiiviseen operaattoriin S = S∗ ≥ 0.

Tästä saadaan operaattoreiden T toinen alaluokka, jossa A:n käänteisoperaattori on rajoitettu. Tätä tarkoitusta varten Sebestyénin epäyhtälö laajennetaan myös lineaaristen relaatioiden tapaukseen. Lisäksi väitöskirjassa tutkitaan näiden kahden alaluokan yhteyttä heikkoon similaarisuuteen sekä T:n kvasi-affiinisuuteen operaattoriin S = S∗ ≥ 0. Lopuksi väitöskirjassa todistetaan lokaaliin spektraaliteoriaan liittyviä tuloksia tapauksessa, jossa A on rajoitettu operaattori; mm. yksiarvoinen laajennusominaisuus (SVEP), Dunfordin ominaisuus (c) ja ennen kaikkea se, että tällaiseen luokkaan kuuluvat operaattorit ovat C-yleistettyjä skalaarioperaattoreita. Tämä ominaisuus on keskeisessä asemassa, koska sen ansiosta myös kaikkien operaattoreiden T, jotka ovat kvasi-affiineja jonkun ei-negatiivisen itseisadjungoidun operaattorin S kanssa, spektri toteuttaa yhtälön σ(T ) = σ(S).