Products of nonnegative selfadjoint operators, linear relations, and their local spectral theory

Yksi tämän väitöskirjan keskeisistä kohteista on suljettujen, yleisesti rajoittamattomien Hilbert-avaruuden operaattoreiden T luokka, joiden jäsenet voidaan faktoroida kahden ei-negatiivisen itseadjungoidun operaattorin A ja B tuloksi T = AB. Tapaus, jossa jompikumpi operaattoreista A tai B on rajoittettu tai vaihtoehtoisesti, kun jommallakummalla niistä on rajoitettu käänteisoperaattori, mahdollistaa lokaalin spektraaliteorian kehittämisen tällaisille operaattoreille. Tapaus, jossa A on rajoitettu operaattori, karakterisoidaan ensin adjungaatin T ∗ kvasiaffinisuudella operaattoriin S = S∗ ≥ 0. Toinen karakterisointi johdetaan yleistämällä ensin Sebestyénin teoreema rajoitettujen operaattoreiden luokasta rajoittamattomien operaattoreiden luokkaan. Lisäksi todistetaan Sebestyénin epäyhtälön käänteinen versio, jonka osoitetaan olevan yhteydessä T:n kvasi-affiinisuuteen johonkin ei-negatiiviseen operaattoriin S = S∗ ≥ 0. Tästä saadaan operaattoreiden T toinen alaluokka, jossa A:n käänteisoperaattori on rajoitettu. Tätä tarkoitusta varten Sebestyénin epäyhtälö laajennetaan myös lineaaristen relaatioiden tapaukseen. Lisäksi väitöskirjassa tutkitaan näiden kahden alaluokan yhteyttä heikkoon similaarisuuteen sekä T:n kvasi-affiinisuuteen operaattoriin S = S∗ ≥ 0. Lopuksi väitöskirjassa todistetaan lokaaliin spektraaliteoriaan liittyviä tuloksia tapauksessa, jossa A on rajoitettu operaattori; mm. yksiarvoinen laajennusominaisuus (SVEP), Dunfordin ominaisuus (c) ja ennen kaikkea se, että tällaiseen luokkaan kuuluvat operaattorit ovat C-yleistettyjä skalaarioperaattoreita. Tämä ominaisuus on keskeisessä asemassa, koska sen ansiosta myös kaikkien operaattoreiden T, jotka ovat kvasi-affiineja jonkun ei-negatiivisen itseisadjungoidun operaattorin S kanssa, spektri toteuttaa yhtälön σ(T ) = σ(S).