Generalized Schur functions and passive discrete-time realizations

Väitöskirjassa tarkastellaan passiivisia diskreettiaikaisia systeemejä Pontryaginin avaruuksissa. Kyseessä olevat systeemit voidaan samaistaa kontraktiivisten operaattorikolligaatioden kanssa. Niiden siirtofunktiot ovat yleistettyjä Schur-funktioita. D.Z. Arovin tulokset minimaalisista passiivisista systeemeistä Hilbertin avaruuksissa yleistetään indefiniitteihin avaruuksiin. Saatuja tuloksia sovelletaan M.G. Kreinin ja H. Langerin sekä L. de Brangesin teoriaan yleistetyistä Schur-funktioista, ydinavaruuksista ja koisometrisista kolligaatioista. Defektifunktiot määritellään yleistetyille Schur-funktioille käyttämällä optimaalisia ja minimaalisia realisaatioita. Defektifunktioiden ominaisuuksien ja yleistettyjen Schur-funktioiden realisaatioiden ominaisuuksien yhteyttä analysoidaan. Niiden yleistettyjen Schur-funktioiden, joiden defektifunktiot häviävät, realisaatiolla on vahvoja ominaisuuksia. Johdetut tulokset ovat yleistyksiä aiemmin tunnetuille unitaarisia rationaalifunktioita ja tavallisia sisäfunktioita koskeville tuloksille. Tutkimusteemana ovat myös heikot ja unitaariset similariteetit yleistettyjen Schur-funktioiden realisaatioiden välillä. D.Z. Arovin ja M.A. Nudelmanin todistama kriteeri siitä, milloin kaikki minimaaliset ja passiiviset realisaatiot ovat unitaarisesti similaarisia, laajennetaan käsittämään myös yleistettyjen Schur-funktioiden luokka. Tutkimalla symmetrisen yleistetyn Schur-funktion optimaalisen ja minimaalisen realisaation sekä tämän duaalin välisen heikon similariteetin negatiivista indeksiä, saadaan kriteeri sille, milloin yleistetty symmetrinen Schur-funktio on myös yleistetty Nevanlinna-funktio.