Kenttäteorian matemaattisia perusteita

Abstract

Tämän diplomityön tavoite on tutkia sähkö- ja magneettikenttiä kuvaavan kenttäteorian matemaattista luonnetta. Tarkoitus on osoittaa, miten hyvä matematiikan osaaminen tukee kenttäteorian oppimista ja ymmärtämistä.

Aiheen valinta perustellaan kokemuksella siitä, että kenttäteorian ja siinä käytettävän matematiikan välisen yhteyden hahmottaminen sekä niiden oppiminen yleensä tuottavat merkittäviä vaikeuksia. Tässä diplomityössä pyritään esittämään tietyt kenttäteorian ja matematiikan peruskäsitteet siten, että ne muodostavat johdonmukaisen ja yhtenäisen kokonaisuuden, ja näin motivoimaan matematiikan oppimiseen siinä määrin, että sitä on aidosti mahdollista soveltaa kenttäteoriaa opiskeltaessa.

Työssä esitellään ensin matemaattisia käsitteitä, jotka ovat läheisessä yhteydessä kenttäteoriaan. Tämä osio käsittelee ensisijaisesti vektorianalyysia eli vektorikenttien differentiaali- ja integraalilaskentaa, sekä muuttujienvaihtoa. Matemaattiset käsitteet esitetään määritelminä ja niistä johdettuina tuloksina, joista osa perustellaan. Käsitteet pyritään kuvaamaan siten, että niihin työn seuraavissa luvuissa viittaamalla pystytään yksinkertaistamaan kenttäteorian käsitteiden selittämistä. Tämän menetelmän tarkoitus on keventää kenttäteoriaa käsittelevän osion sisältöä ja samalla havainnollistaa matematiikan merkitystä työn tavoitteiden mukaisesti.

Varsinaista sähkö- ja magneettikenttien teoriaa selittävien lukujen sisältö rakentuu sitä oleellisesti kuvaavien Maxwellin yhtälöiden ja Lorentzin voiman ympärille. Ensin käsitellään sähkövarausten aiheuttamia staattisia sähkökenttiä ja Maxwellin I yhtälöä eli Gaussin lakia sähkökentille. Varausten liikkeen, eli sähkövirran, ja Lorentzin voiman jälkeen käsitellään stationaaristen virtojen ja niiden aiheuttamien staattisten magneettikenttien yhteyttä sekä johdetaan Maxwellin II yhtälö eli Gaussin laki magneettikentille.

Tämän jälkeen käsitellään ajasta riippuvia sähkömagneettisia kenttiä. Tällöin johdetaan Maxwellin IV yhtälö eli Ampère-Maxwellin laki ja esitetään sähkömotorisen voiman käsite sekä sähkömagneettinen induktio. Sähkömagneettisen induktion käsittely jaetaan tilanteisiin, joissa induktio tapahtuu Lorentzin voiman ja toisaalta Faradayn lain eli Maxwellin III yhtälön kuvaaman ilmiön vaikutuksesta, ja myös molempien aiheuttamana.

Havaitaan, että työn alkuosassa esitelty matemaattinen sisältö on oleellisesti yhteydessä koko kenttäteoriaa käsittelevään työn osaan, ja todetaan matematiikan osaamisen hyödyllisyys kenttäteorian ymmärtämisen kannalta. Työn aineisto on laajennettavissa esimerkiksi materiaalien vaikutuksen sähkö- ja magneettikenttien käyttäytymiseen sekä sähkömagneettisten aaltojen kuvaamiseen.

The objective of this thesis is to study the mathematical nature of the field theory describing electric and magnetic fields. The aim is to show how good mathematical skills support the learning and understanding of field theory.

The choice of the topic is justified by the experience that perceiving the connection between field theory and the mathematics used in it, as well as learning them in general, is proven to be significantly difficult. This thesis aims to present certain basic concepts of field theory and mathematics in a logical and coherent manner, and thus motivate the learning of mathematics to such an extent that it is genuinely possible to apply it when studying field theory.

The thesis first describes mathematical concepts that are closely related to the electromagnetic field theory. This section primarily addresses vector analysis meaning the differential and integral calculus of vector fields, and the change of variables. The mathematical concepts are presented as definitions and results derived from them, some of which are proved in the thesis. The concepts are intended to be described in such a way that, by referring to them in the following chapters of the thesis, it is possible to simplify the description of field theory concepts. The purpose of this method is to lighten the content of the section addressing the field theory and at the same time illustrate the importance of mathematics in accordance with the objectives of the thesis.

The content of the chapters explaining the theory of electric and magnetic fields is built around the Maxwell equations and the Lorentz force, which the theory is largely based on. It describes static electric fields caused by electric charges and Maxwell’s I equation, also known as Gauss’s law for electric fields. The electric current and the Lorentz force, as well as the connection between stationary currents and the static magnetic fields caused by them, are discussed. The Maxwell’s II equation, which is the Gauss’s law for magnetic fields, is derived.

In the next section, time-varying electromagnetic fields are presented. The Maxwell’s IV equation, known as the Ampère-Maxwell law, is derived, and the concepts of electromotive force and electromagnetic induction are presented. The section addressing the electromagnetic induction is divided into situations where induction occurs due to the Lorentz force, the phenomenon described by Faraday’s law also known as Maxwell’s III equation, or both.

It is observed that the mathematical content presented in the initial part of the thesis is also substantially included in the entire part discussing field theory, and the usefulness of mathematical knowledge in terms of understanding field theory is stated. The content of the thesis can be expanded, for example, to the effect of materials on the behavior of electric and magnetic fields, and to the electromagnetic waves.