From the inaccurate Black-Scholes model to more efficient delta hedging with smile-adjusted extension

The Black-Scholes model is the first and still one of the most used models to price and hedge options despite its multiple unrealistic background assumptions, like constant volatility. Since the iterated implied volatility from the Black-Scholes model among index options is documented to be downward sloping, the volatility smile takes the form of a smirk. Due to the volatility smile, the Black-Scholes delta (BS delta) does not minimise the variance of the portfolio in delta hedging. Therefore, researchers have presented models like smile-adjusted delta (SAD) to enhance delta hedging performance by considering the volatility smile. This thesis provides an in-depth discussion about the background assumptions of the Black-Scholes model and the non-unanimous reasons for the volatility smile. This is followed by research on how the Black-Scholes model can be modified to enhance delta hedging outcomes to consider the presence of volatility smiles. The delta hedging performance of the BS delta and SAD is retested among S&P 500 index options during the COVID-19 pandemic year of 2020, following the methodology by Vähämaa (2004) for robust comparison. The empirical findings from delta hedging indicate that SAD outperforms the BS delta most distinctly among in-the-money options. When the hedging horizon is longer than a day, SAD outperforms the BS delta regardless of the moneyness and maturity of the option. That outperformance becomes even more notable as the hedging horizon lengthens. Moreover, in stable market conditions, the outperformance of SAD is documented for every moneyness-maturity category. Interestingly, for highly volatile market conditions, the outperformance of SAD is documented only among in-the-money options and out-of-the-money long-term options. Further, the volatility smiles or rather smirks, are documented separately for call and put options. A comparison of volatility smiles reveals that put options are priced with greater implied volatility than call options and that the difference in implied volatility is the smallest among at-the-money options. Moreover, due to the observed negative correlation between volatility and underlying movements, the correct delta is smaller than the BS delta.

Black–Scholes malli on optioiden hinnoittelun ja riskisuojauksen ensimmäinen ja yhä yksi yleisimmin käytetyistä malleista, vaikka se perustuu useisiin epärealistisiin oletuksiin, kuten muuttumattomaan volatiliteettiin. Koska Black-Scholes mallista iteroidun implisiittisen volatiliteetin on dokumentoitu olevan indeksioptioiden kohdalla laskeva, volatiliteettihymy on muodoltaan virnistävä. Volatiliteettihymyn vuoksi Black-Scholes mallin delta (BS delta) ei minimoi portfolion varianssia deltasuojauksessa. Tämän seurauksena tutkijat ovat esittäneet malleja, kuten hymykorjattu delta, joilla parannetaan deltasuojauksen tehokkuutta ottamalla huomioon volatiliteettihymy. Tässä tutkielmassa käsitellään perusteellisesti Black-Scholes mallin taustaoletuksia ja volatiliteettihymyn muodostumisen eriäviä syitä. Tämän jälkeen tutkitaan, miten Black-Scholes mallia voidaan muokata ottamaan volatiliteettihymy huomioon optimaalisemman deltasuojautumisen takaamiseksi. BS deltan ja hymykorjatun deltan deltasuojauksen optimaalisuutta testataan S&P 500 indeksioptioilla vuonna 2020, jota varjosti COVID-19 pandemia. Vertailukelpoisuuden varmistamiseksi tutkielma seuraa tutkimuksen Vähämaa (2004) metodologiaa. Deltasuojaukseen liittyvät empiiriset havainnot osoittavat, että hymykorjatulla deltalla saavutetaan BS deltaan nähden parempi deltasuojaus plusoptioita tarkastellessa. Deltasuojaushorisontin ollessa pidempi kuin yksi päivä, hymykorjattu delta tarjoaa BS deltaa paremman deltasuojauksen riippumatta option perusarvosta ja voimassaoloajasta. Suojaushorisontin pidentyessä ero deltasuojauksen tehokkuudessa muuttuu entistä merkitsevämmäksi. Vakailla markkinoilla hymykorjattu delta voidaan todeta paremmaksi jokaisessa perusarvo-voimassaoloaika-ryhmässä. Mielenkiintoista on, että epävakailla markkinoilla hymykorjatun deltan paremmuus voidaan todeta ainoastaan plusoptioilla ja pitkän maturiteetin miinusoptioilla. Tutkielmassa dokumentoidaan myös virnistävät volatiliteettihymyt erikseen osto- ja myyntioptioille. Hymyjen vertailu paljastaa, että myyntioptiot hinnoitellaan suuremmalla implisiittisellä volatiliteetilla kuin osto-optiot, ja että implisiittisten volatiliteettien ero on pienin tarkastellessa tasaoptioita. Lisäksi voidaan todeta, että volatiliteetin ja kohde-etuuden välisen negatiivisen korrelaation vuoksi oikea delta on pienempi kuin BS delta.