Path Integral Calculations for Option Pricing
Kaipainen, Joni (2023-12-04)
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe20231204151163
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe20231204151163
Tiivistelmä
Since the initiation of options trading by the Chicago Board Options Exchange in 1973, the financial markets have experienced substantial growth in options trading. As of 2022, the trading volume reached an astounding 10.32 billion contracts, with the gross market value of over-the-counter derivatives, including options, amounting to $20.7 trillion and a notional value of $618 trillion. This growth underscores the critical role of options trading in modern finance.
The pricing of options is a highly mathematical task, influenced by multiple factors such as asset volatility, time until expiration, interest rates, and market unpredictability. Accurate pricing is essential not only for profit maximization but also for mitigating systemic risks, as evidenced by the 2007-2008 financial crisis where mispriced mortgage derivatives played a significant role. Consequently, there’s an increasing demand for more detailed and computationally efficient pricing methodologies.
This study explores the application of the quantum mechanical path integral method introduced by R. Feynman to option pricing. This approach combines the probabilistic foundations of quantum mechanics with financial modeling. Traditionally used in physics to calculate particle transition probabilities with astonishing accuracy, path integrals offer also a method to model the paths of asset prices as a function of time. Numerical integration of path integrals with Monte Carlo simulations provides an interesting multidisciplinary method for simulating complex processes inherent in financial markets.
A significant aspect of this research is in the comparison of the quantum mechanical path integral Monte Carlo simulation framework with the traditional option pricing methods. The results indicate that the path integral formalism can replicate well-known results, and can be easily extended to valuate more complicated options. Furthermore, the results of this research clarify the quantum mechanical aspects of option pricing and present both the theoretical framework and efficient numerical solutions in a comprehensible manner. Through this, the study aims to contribute to the advancement of financial modeling and risk management strategies, marking a step forward in the intersection of quantum physics and financial economics. Optiokaupankäynnin osuus finanssimarkkoinoilla on kasvanut merkittävästi Chicago Board Options Exchangen aloitettua kaupankäynnin optioilla vuonna 1973. Vuonna 2022 optioilla tehtyjen kauppojen määrä ylitti 10,32 miljardia. Näiden johdannaiskauppojen bruttoarvo ylitti 20,7 biljoonaa ja nimellisarvo 618 biljoonaa dollaria. Tämä kasvu korostaa optiokaupan merkistystä nykyaikaisilla rahoitusmarkkinoilla.
Optioiden hinnoittelu on matemaattisesti haastava tehtävä, johon vaikuttaa monta tekijää, kuten volatiliteetti, voimassaoloaika, korot sekä markkinoiden arvaamaton luonne. Tarkka hinnoittelu on voittojen maksimoinnin lisäksi tärkeää järjestelmäriskien välttämiseksi, kuten opittiin vuosien 2007-2008 finanssikriisistä, jossa väärin hinnoitellut asuntolainajohdannaiset olivat merkittävässä roolissa. Näin ollen kysyntää entistä tarkemmille ja laskennallisesti tehokkaammille optioiden hinnoittelumenetelmille on runsaasti.
Tässä tutkielmassa tarkastellaan R. Feynmanin esittämän kvanttimekaanisen polkuintegraalimenetelmän soveltamista optioiden hinnoitteluun. Menetelmä yhdistää kvanttimekaniikan probabilistiset lähtökohdat ja rahoitusteorian. Polkuintegraalimenetelmää on käytetty menestyksekkäästi hiukkasten tilasiirtymien laskemiseen, minkä lisäksi menetelmää voidaan soveltaa mallintamaan rahoitusintrumenttien arvon muutosta ajan funktiona. Polkuintegraalien numeerinen ratkaiseminen Monte Carlo -simulaatioita käyttämällä luo vahvan pohjan poikkitieteelliselle menetelmälle rahoitusmarkkinoiden monimutkaisten prosessien simuloimiseksi.
Tutkielmassa vertaillaan kvanttimekaanista polkuintegraali-Monte Carlo -menetelmää perinteisiin optioiden hinnoittelussa käytettyihin menetelmiin. Tuloksista nähdään, että polkuintegraalimenetelmällä voidaan päästä samoihin tuloksiin tunnettujen mallien kanssa, ja että menetelmää voidaan soveltaa hyvin monimutkaisempien optioiden hinnoittelussa. Työn tarkoituksena on selventää menetelmän kvanttimekaanisista luonnetta ja esitellä taustalla oleva teoreettinen viitekehys, sekä selkeä ja tehokas menetelmä numeerisen ratkaisun mahdollistamiseksi. Tutkielman tavoitteena on edistää rahoitusmallinnuksen ja riskienhallinnan menetelmiä, ja vahvistaa kvanttimekaniikan ja taloustieteen välisiä yhteneväisyyksiä.
The pricing of options is a highly mathematical task, influenced by multiple factors such as asset volatility, time until expiration, interest rates, and market unpredictability. Accurate pricing is essential not only for profit maximization but also for mitigating systemic risks, as evidenced by the 2007-2008 financial crisis where mispriced mortgage derivatives played a significant role. Consequently, there’s an increasing demand for more detailed and computationally efficient pricing methodologies.
This study explores the application of the quantum mechanical path integral method introduced by R. Feynman to option pricing. This approach combines the probabilistic foundations of quantum mechanics with financial modeling. Traditionally used in physics to calculate particle transition probabilities with astonishing accuracy, path integrals offer also a method to model the paths of asset prices as a function of time. Numerical integration of path integrals with Monte Carlo simulations provides an interesting multidisciplinary method for simulating complex processes inherent in financial markets.
A significant aspect of this research is in the comparison of the quantum mechanical path integral Monte Carlo simulation framework with the traditional option pricing methods. The results indicate that the path integral formalism can replicate well-known results, and can be easily extended to valuate more complicated options. Furthermore, the results of this research clarify the quantum mechanical aspects of option pricing and present both the theoretical framework and efficient numerical solutions in a comprehensible manner. Through this, the study aims to contribute to the advancement of financial modeling and risk management strategies, marking a step forward in the intersection of quantum physics and financial economics.
Optioiden hinnoittelu on matemaattisesti haastava tehtävä, johon vaikuttaa monta tekijää, kuten volatiliteetti, voimassaoloaika, korot sekä markkinoiden arvaamaton luonne. Tarkka hinnoittelu on voittojen maksimoinnin lisäksi tärkeää järjestelmäriskien välttämiseksi, kuten opittiin vuosien 2007-2008 finanssikriisistä, jossa väärin hinnoitellut asuntolainajohdannaiset olivat merkittävässä roolissa. Näin ollen kysyntää entistä tarkemmille ja laskennallisesti tehokkaammille optioiden hinnoittelumenetelmille on runsaasti.
Tässä tutkielmassa tarkastellaan R. Feynmanin esittämän kvanttimekaanisen polkuintegraalimenetelmän soveltamista optioiden hinnoitteluun. Menetelmä yhdistää kvanttimekaniikan probabilistiset lähtökohdat ja rahoitusteorian. Polkuintegraalimenetelmää on käytetty menestyksekkäästi hiukkasten tilasiirtymien laskemiseen, minkä lisäksi menetelmää voidaan soveltaa mallintamaan rahoitusintrumenttien arvon muutosta ajan funktiona. Polkuintegraalien numeerinen ratkaiseminen Monte Carlo -simulaatioita käyttämällä luo vahvan pohjan poikkitieteelliselle menetelmälle rahoitusmarkkinoiden monimutkaisten prosessien simuloimiseksi.
Tutkielmassa vertaillaan kvanttimekaanista polkuintegraali-Monte Carlo -menetelmää perinteisiin optioiden hinnoittelussa käytettyihin menetelmiin. Tuloksista nähdään, että polkuintegraalimenetelmällä voidaan päästä samoihin tuloksiin tunnettujen mallien kanssa, ja että menetelmää voidaan soveltaa hyvin monimutkaisempien optioiden hinnoittelussa. Työn tarkoituksena on selventää menetelmän kvanttimekaanisista luonnetta ja esitellä taustalla oleva teoreettinen viitekehys, sekä selkeä ja tehokas menetelmä numeerisen ratkaisun mahdollistamiseksi. Tutkielman tavoitteena on edistää rahoitusmallinnuksen ja riskienhallinnan menetelmiä, ja vahvistaa kvanttimekaniikan ja taloustieteen välisiä yhteneväisyyksiä.